Просветленный (44668), решён 3 месяца назад
Задачка по механике. Она для 9-го класса.
Начальные скорости и все силы трения нулевые, требуется найти ускорение клина. По правилам игры мы еще пределы и производные не проходили, но с основными теоремками ньютоновой формулировки механики, по крайней мере, для поступательного движения, на уровне +/- Тарга знакомы.
Лучший ответ
Решаю прям тут, печатая, поэтому, шоб не путаться, сначала запишу пообщее, а потом упрощу. Уравнения движения:
m x'' = Q sin(a),
m y'' = - m g + Q cos(a),
M X'' = - Q sin(a),
M Y'' = - M g + P - Q cos(a).
обозначения:
M - масса клина,
m - масса груза,
X, Y - координаты какой-нибудь точки клина,
x, y - координаты груза,
Q - модуль силы взаимодействия груза и клина,
P - модул силы взаимодействия клина и его опоры.
Теперь учтем, что клин по вертикали не движется:
Y'' = 0,
и уравнение с Y'' можно вообще выкинуть (т. к. P нам не интересно).
Учтем, что грузик движется не абы как, а вдоль поверхности клина:
(- y') / (x' - X') = tg(a).
Поулчаем 4 линейных уравнения и 4 неизвестных x'', y'', X'', q = Q / m:
x'' = q sin(a),
y'' = - g + q cos(a),
X'' = - (m / M) q sin(a),
x'' + ctg(a) y'' - X'' = 0.
Ускорения, выраженные в первых трех уравнениях, можно подставить в четвертое, и сразу получим q:
q = M g cos(a) / (M + m sin(a)^2).
Подставляем это q в выражение для X'', и получаем почти ответ:
X'' = - m g sin(a) cos(a) / (M + m sin(a)^2).
Теперь вспоминаем, что по условию:
M = 3 m,
cos(a) = 4 / 5,
и получаем ответ:
X'' = - g / 7.
---
PS: за ламповый рисунок отдельный лайк :)
Остальные ответы
При таких условиях это тупо синус угла на гэ, не?
3 месяца
не, а_клина = g/7, вертикальная и горизонтальная составляющие ускорения грузика - по 3g/7, траектория грузика направлена под углом 45% градусов к горизонту, т.к. клин влево смещается с ускорением.
У меня так вышло)
3/4 g
3 месяца
Да не, для ускорения груза это неадекватно много.
3* (3/4)^2 > 1, у вас даже один лишь клин (а вся система - и подавно) набирает кинетическую энергию быстрее, чем грузик набирал бы при свободном падении.
масса клина пусть будет М а то я путаюсь
3 месяца
&Ъ, не-не, нормально, я решение в общем случае не получал, для моего случая оно сошлось.
Случаи sin(альфа) = 0 и cos(альфа) = 0 тоже нормально выглядят
3 месяца
Тадасана, как так? Нам же для того, чтобы найти горизонтальное ускорение, нужно найти горизонтальную силу и поделить на массу, для этого нам нужно найти реакцию опоры и умножить на sin(А), а для реакции опоры нам нужно mg умножить на cos(A)...
каким образом могло получиться g/7? должно же быть g*4/25
так как собирая формулу в обратном порядке получаем (mg*4/5*3/5)/3m = g*4/25
получается реакция опоры
Fо = g*m*4/5
тогда горизонтальная сила будет
Fг = Fо*√(1 - 16/25) = Fо*3/5 = g*m*4/5*3/5 = g*m*12/25
Ну и так, как это сила действующая горизонтально со стороны клина на груз, то груз на клин действует в противоположном направлении с той же силой, тогда
a = Fг/3m = g*4/25
по-моему же так. нет?
3 месяца
Вопрос на засыпку.
У вас горизонтальная проекция суммы всех сил, действующих на клин, зависит ли от массы клина?
В предельном случае (массу клина если устремить к нулю, массу грузика не устремлять), наверное, должно быть интуитивно понятно, что грузик будет опускаться практически вертикально. Т.е. горизонтальная составляющая равнодействующей, действующей на грузик, устремится к нулю, а тогда и на клин - тоже (по ЗСИ или по третьему закону Ньютона - на вкус).
3 месяца
"В предельном случае (массу клина если устремить к нулю, массу грузика не устремлять), наверное, должно быть интуитивно понятно, что грузик будет опускаться практически вертикально"
Если вдруг оно не очень интуитивно, то можно посмотреть, куда производная dp/dt для системы "клин + грузик" направлена. На систему грузик + клин из внешних сил действуют только вертикальные. Посему и горизонтальная составляющая импульса системы грузик + клин остается нулевой. Ну и при нулевой массе клина наш грузик "падает" вертикально., значит, сумма горизонтальных сил, на него действующих, нулевая, а тогда и на клин - тоже.
3 месяца
Тадасана, в момент начала эксперимента, когда скорости нулевые, сила реакции опоры зависит только от угла этой опоры к "горизонту", от силы тяжести и от массы самого грузика. Масса опоры значения не имеет. Масса опоры имеет значение только если мы хотим рассматривать не статику. а динамику, и тогда нам нужно учитывать, что чем легче опора. тем она быстрее будет ускоряться и значит тем быстрее будет уменьшаться реакция опоры. Но Вы же не рассматриваете задачу в динамике, потому что тогда в формуле должно появиться t (время), так как какой бы массы не был клин, а в какой-то момент он разгонится до того, что клин и груз не будут воздействовать друг на друга :)
3 месяца
Тадасана, то есть для статики на реакцию опоры масса опоры не влияет, а для динамики при любой массе опоры отличной от нуля, нужно учитывать её разгон и как следствие изменение ускорения в зависимости от времени после начала эксперимента.
3 месяца
Николай Матвейчук, раз я прошу найти ускорение, то это точно не статика (а кинематика или динамика), а если рассматривать силовые взаиомдействия или, например, изменение какого-либо вида энергии, кинематика отпадает. Получается задачка по динамике.
Более того, если ее аккуратно решить, то при соскальзывании грузика все ускорения (и грузика, и клина) получатся постоянными.
3 месяца
Николай Матвейчук, ну и хочу напомнить, что вес человека в лифте зависит от ускорения лифта. И сила реакции опоры.
Здесь "опора для грузика" (клин) тоже ускоряется, только геометрия посложнее, чем в лифте.
3 месяца
Тадасана, 
да, и правда. просто нужно было нормально расписать всё... То есть добавить ускорение системе отсчёта, чтобы перейти в ту, где клин неподвижен, потом внимательно расписать все силы, и тогда получается g/7 если решить получившееся уравнение
да, и правда. просто нужно было нормально расписать всё... То есть добавить ускорение системе отсчёта, чтобы перейти в ту, где клин неподвижен, потом внимательно расписать все силы, и тогда получается g/7 если решить получившееся уравнение
3 месяца
Тадасана, там на рисунке есть лишнее, просто я не знал что мне понадобится для решения и расписывал все силы, пока не увижу то, что позволит мне решить задачу. Оказалось, что достаточно было mg, ma, 3ma, ma*sin(A) и (mg*cos(A) - ma*sin(A)). Но мне уже было лень всё начисто перерисовывать :)
